1.为什么奇数位上数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除的数能被11整除?2.为什么奇位千进位数段之和与偶位千进位之和的差能被7整除的数能被7整除?能把第二问也证下么，没同理出

Question

1.为什么奇数位上数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除的数能被11整除?
2.为什么奇位千进位数段之和与偶位千进位之和的差能被7整除的数能被7整除?
能把第二问也证下么，没同理出来。

Answer 1

设任意n位的数为：AnAn-1…Ai…A2A1
对于i为奇数：可分解为Ai*10^(i-1)=Ai*9…9+Ai,其中9…9为i-1(偶数)个9,而9…9/11的商的形式为909…09（可以另外证明）；
对于i为偶数：可分解为Ai*10^i=Ai*10…01-Ai,其中10…01为i-2(偶数)个0,而10…01/11的商的形式为909…091（可以另外证明）；
则当n为奇数时,AnAn-1…Ai…A2A1可分解成下面n个数：
1）A1
2）A2*11-A2 ：第一项可以整除11
3）A3*99+A3 ：i=3,i-1=2(偶数)个9,第一项可以整除11
4）A4*1001-A4 ：i=4,i-2=2(偶数)个0,第一项可以整除11
…………
i）i为奇数时：Ai*9…9+Ai ：i-1(偶数)个9,第一项可以整除11
i）i为偶数时：Ai*10…01-Ai ：n-2(偶数)个0,第一项可以整除11
…………
n-1）An-1*10…01-An-1 ：i=n-1,i-2=n-3(偶数)个0,第一项可以整除11
n）An*9…9+An ：n-1(偶数)个9,第一项可以整除11
以上1）到n）项相加,去掉能被11整除的项,得：
A1-A2+A3-A4+……-An-1+An
即奇数位的和减偶数位的和,若它能被11整除,也就是原数能被11整除.
同理,当n为偶数时,第n-1）,n）为
n-1）An-1*9…9+An-1 ：i=n-1,i-1=n-2(偶数)个9,第一项可以整除11
n）An*10…01-An ：n-2(偶数)个0,第一项可以整除11
以上1）到n）项相加,去掉能被11整除的项,得：
A1-A2+A3-A4+……+An-1-An
即奇数位的和减偶数位的和,若它能被11整除,也就是原数能被11整除.
其他同理