若抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于AB两点,与y轴交于点C,我们称△ABC为抛物线的奠基三角形 (1)如图,若抛物线y=(x-3)(x-8)（a＞0）的奠基三角形△ABC是等腰三角形,求a的值（2）若D是（1）抛物线上对称

Question

若抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于AB两点,与y轴交于点C,我们称△ABC为抛物线的奠基三角形

 (1)如图,若抛物线y=(x-3)(x-8)（a＞0）的奠基三角形△ABC是等腰三角形,求a的值（2）若D是（1）抛物线上对称轴上一点,则在（1）抛物线上是否存在一点P,使以A,B,P,C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由.

Answer 1

⑴∵A(3,0)、B(8,0)都在X轴正方向上,
∴∠CAB为钝角,∴AC=AB=5,
∴OC=√(AC^2-OA^2)=4,∴C(0,4),
∴4=a*(-3)*(-8),a=1/6.
抛物线解析式为：Y=1/6(X-3)(X-8)=1/6X^2-11/6X+4.
⑵Y=1/6(X^2-11X+24)=1/6(X-11/2)^2-25/24,
∴对称轴X=11/2,顶点(11/2,25/24),
①显然顶点满足条件,即P1(11/2,25/24),
②当PD=AB=5,设P(m,1/6(m^2-11m+24)),
则PD=|m-11/2|=5,
m=1/2或21/2,
∴P2(1/2,25/8),P3(21/2,25/8).