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设二次方程anx^2-a(n+1)x+1=0有两个根x1,x2,且满足6x1-2x1x2+6x2=3.且a1=1设二次方程anx²-a(n+1)x+1=0(n=1,2,3…)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3。,a1=1(1)试用an表示a(n+1);(2)求证:{an-2/3}是等比数

题目详情
设二次方程anx^2-a(n+1)x+1=0有两个根x1,x2,且满足6x1-2x1x2+6x2=3.且a1=1
设二次方程anx²-a(n+1)x+1=0(n=1,2,3…)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3。,a1=1
(1)试用an表示a(n+1);
(2)求证:{an-2/3}是等比数列;
(3)求数列{an}的通项公式。
▼优质解答
答案和解析
6α-2αβ+6β=3
6(α+β)-2αβ=3
6a(n+1)/an -2/an=3
a(n+1)=(1/2)an+(1/3)
a(n+1)-(2/3)=(1/2)an+(1/3)-(2/3)=(1/2)[an-(2/3)]
所以:{an-2/3}是公比为1/2的等比数列
设bn=an-(2/3)
则:b1=a1-(2/3)=1/3
bn=b1*(1/2)^(n-1)=(1/3)*(1/2)^(n-1)=(2/3)*2^(-n)
an-(2/3)=(2/3)*2^(-n)
an=(2/3)+(2/3)*2^(-n)