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三角形ABC的三个顶点都在抛物线Y²=2PX(P>0),点A重合在坐标原点,抛物线焦点F恰好是三角形ABC的垂心,求该三角形的外接圆方程.(写出过程,
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三角形ABC的三个顶点都在抛物线Y²=2PX(P>0),点A重合在坐标原点,抛物线焦点F恰好是三角形ABC的垂心,求该三角形的外接圆方程.(写出过程,
▼优质解答
答案和解析
由抛物线方程知,焦点F在X轴上,且坐标为F(P/2,0)
因为F为△ABC的垂心,A点在原点,所以AF⊥BC
△ABC为以BC为底的等腰三角形,B、C关于x轴对称,不妨设B点在X轴上方,设它们的横坐标为m,则它们的坐标分别为:B(m,√(2Pm)),C(m,-√(2Pm)).
∵AB⊥CF ∴[√(2Pm)/m]*[√(2Pm)/(P/2-m)]=-1
解得m=5/2P,B、C坐标分别为B(5/2P,√5*P),C(5/2P,-√5*P)
设外接圆圆心坐标为(r,0),则:
(5/2P-r)^2+(√5*P)^2=r^2
r=9/4P
所以外接圆方程为
(x-9/4P)^2+y^2=(9/4P)^2
即:x^2+y^2-9/2Px=0
因为F为△ABC的垂心,A点在原点,所以AF⊥BC
△ABC为以BC为底的等腰三角形,B、C关于x轴对称,不妨设B点在X轴上方,设它们的横坐标为m,则它们的坐标分别为:B(m,√(2Pm)),C(m,-√(2Pm)).
∵AB⊥CF ∴[√(2Pm)/m]*[√(2Pm)/(P/2-m)]=-1
解得m=5/2P,B、C坐标分别为B(5/2P,√5*P),C(5/2P,-√5*P)
设外接圆圆心坐标为(r,0),则:
(5/2P-r)^2+(√5*P)^2=r^2
r=9/4P
所以外接圆方程为
(x-9/4P)^2+y^2=(9/4P)^2
即:x^2+y^2-9/2Px=0
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