如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，连接AE、BE．作BF⊥AE于点F．（1）求证：BF=AD；（2）若EC=2-1，∠FEB=67.5°，求扇形ABE的面积（结果保留π）．

Question

如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，连接AE、BE．作BF⊥AE于点F．

（1）求证：BF=AD；
（2）若EC=√(2)-1，∠FEB=67.5°，求扇形ABE的面积（结果保留π）．

Answer 1

（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，
∴∠AED=∠FAB，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB=∠D=90°，
由作图可知，AB=AE，
在△ABF和△ADE中，

∠D=∠AFB

∠AED=∠FAB

AE=AB

，
∴△ABF≌△ADE（AAS），
∴BF=AD；

（2） ∵AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE=67.5°，
∴∠EAB=45°，
∴∠DEA=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD=AE，
设AE=x，则DE=x-√(2)+1，
∴x=√(2)（x-√(2)+1），
∴x=√(2)，
∴AE=√(2)，
∴扇形ABE的面积=(45×π×(√(2))2)/(360)=(1)/(4)π．