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如图,以正方形ABCD的边CD为直径作圆O,以顶点C为圆心、边CB为半径作弧BD,E为BC的延长线上一点,且CD,CE的长恰为方程X^2-2(根号3+1)X+4根号3=0的两根,其中CD小于CE,连接DE交圆O于点F.(1)求DF的长;(2
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如图,以正方形ABCD的边CD为直径作圆O,以顶点C为圆心、边CB为半径作弧BD,E为BC的延长线上一点,且CD,CE的长恰为方程X^2-2(根号3+1)X+4根号3=0的两根,其中CD小于CE,连接DE交圆O于点F.(1)求DF的长;(2)求图中阴影部分的面积.
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答案和解析
:(1)连接CF,
∵CD、CE的长为方程x2-2( +1)x+4 =0的两根;
∴CE=2 ,CD=2;
∵∠DCE=90°,
∴tan∠CDE=cd
∴∠CDE=60°;
∵CD是⊙O的直径,
∴∠DFC=90°;
∴DF= DC= ×2=1.
(2)连接OF,
∵∠CDE=60°,OD=OF,
∴△DOF是等边三角形;
∴OD=OF=DF=1;
∴S△DOF= ×1= ,S扇形FOC= = ,
S阴影FEC=S扇形BCD-S△DOF-S扇形FOC= ×2×2 - - = - ,
S阴影DBC=S扇形BCD-S半圆O= - π×1= π,
∴S阴影=S阴影FCE+S阴影DBC= - + π,
= .
∵CD、CE的长为方程x2-2( +1)x+4 =0的两根;
∴CE=2 ,CD=2;
∵∠DCE=90°,
∴tan∠CDE=cd
∴∠CDE=60°;
∵CD是⊙O的直径,
∴∠DFC=90°;
∴DF= DC= ×2=1.
(2)连接OF,
∵∠CDE=60°,OD=OF,
∴△DOF是等边三角形;
∴OD=OF=DF=1;
∴S△DOF= ×1= ,S扇形FOC= = ,
S阴影FEC=S扇形BCD-S△DOF-S扇形FOC= ×2×2 - - = - ,
S阴影DBC=S扇形BCD-S半圆O= - π×1= π,
∴S阴影=S阴影FCE+S阴影DBC= - + π,
= .
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