一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为k．设地球的半径为R．假定地球的密度均匀．已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度d．

Question

一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为k．设地球的半径为R．假定地球的密度均匀．已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度d．

Answer 1

在地面处，单摆所受万有引力近似等于其重力，即mg=G(Mm)/(R)，
单摆的在地面的摆动周期T=2π√((L)/(g))
设地球密度为ρ，地球的质量M=ρ(4)/(3)πR3
综合以上四得得：T=π√((3L)/(GρπR))
质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，矿井内单摆受到的万有引力可以看作是半径为（R-d）的球体施加的，同理单摆的摆动周期T′=π√((3L)/(Gρπ(R-d)))
而单摆在地面处的摆动周期与矿井底部摆动周期之比(T)/(T′)=K
解得：d=R（1-K²）
答；矿井的深度为R（1-K²）