已知;在直角梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥AD,BC=CD,垂足为点E,点F在BD上,连接AF,EF（1）求证：AD=ED（2）如果AF//CD .求证：四边形ADEF是菱形

Question

已知;在直角梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥AD,BC=CD,垂足为点E,点F在BD上,连接AF,EF
（1）求证：AD=ED
（2）如果AF//CD .求证：四边形ADEF是菱形

Answer 1

分析：
（1）先根据平行的性质得到∠ADB=∠CDB,然后结合BC=CD利用ASA可证得△ABD≌△EBD,继而可得出结论；
（2）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论．
证明：（1）∵BC=CD,
∴∠CDB=∠CBD,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,
∴∠ADB=∠CDB,
又∵AB⊥AD,BE⊥CD,
∴∠BAD=∠BED=90°,
于是,在△ABD和△EBD中,
∵∠ADB=∠CDB,∠BAD=∠BED,BD=BD,
∴△ABD≌△EBD,
∴AD=ED．
（2）∵AF∥CD,∴∠AFD=∠EDF,
∴∠AFD=∠ADF,即得AF=AD,
又∵AD=ED,
∴AF=DE,于是,由AF∥DE,AF=DE得四边形ADEF是平行四边形,
又∵AD=ED,
∴四边形ADEF是菱形．