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定义:如果一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有一根为1,则我们称之为“凤凰”方程.(1)下列方程中,是凤凰方程的有:①x^2+2x+1=0 ②2x^2-x-1=0 ③ 2013x^2-x-2012=0 ④ x^2=1(2)方程(a-b)x^2+(b-c)x+c-

题目详情
定义:如果一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有一根为1,则我们称之为“凤凰”方程.
(1)下列方程中,是凤凰方程的有:
①x^2+2x+1=0 ②2x^2-x-1=0 ③ 2013x^2-x-2012=0 ④ x^2=1
(2)方程(a-b)x^2+(b-c)x+c-a=0(a,b,c为常数,且a≠b)是凤凰方程吗,请说明理由
(3)若方程(a-b)x^2+(b-c)x+c-a=0(a,b,c为常数,且a≠b)有两个相等的实数根,试探究a,b,c所满足的关系式
▼优质解答
答案和解析
根据定义,有一根为1的方程称凤凰方程,故要判断一个一元二次方程是否是凤凰方程,可以把x=1代入方程,能使方程成立就是凤凰方程
对于第(1)题,把x=1分别代入方程 ①x^2+2x+1=0 ②2x^2-x-1=0 ③ 2013x^2-x-2012=0 ④ x^2=1可知
对于①x=1不能使方程成立;对于②x=1能使方程成立;对于③x=1能使方程成立;对于④x=1也能使方程成立.所以四个方程中,凤凰方程是②③④
(2)把x=1代入方程(a-b)x^2+(b-c)x+c-a=0,得到
左边=(a-b)+(b-c)+(c-a)=0 =右边
故方程(a-b)x^2+(b-c)x+c-a=0是凤凰方程
(3)要使方程(a-b)x^2+(b-c)x+c-a=0有两相等实数根,则判别式
(b-c)^2 - 4 * (a-b) * (c-a) = 0
整理上式的左边得:(b+c-2a)^2=0
所以 2a = b + c