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已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c图像上的点p(1.f(1))处的切线方程为y=_3x+1,函数g(x)=f(x)-ax^2+3是奇函数,求函数的表达式个极值
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已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c图像上的点p(1.f(1))处的切线方程为y=_3x+1,函数g(x)=f(x)-ax^2+3是奇函数,求函数的表达式个极值
▼优质解答
答案和解析
分析:由题意先求f(x)的导函数,利用导数的几何含义和切点的实质及g(x)为奇函数建立a,b,c的方程求解即可;
有上可知函数f(x)的解析式,先对函数f(x)求导,再利用极值概念加以求解即可.
f′(x)=-3x^2+2ax+b,
∵函数f(x)在x=1处的切线斜率为-3,
∴f′(1)=-3+2a+b=-3,即2a+b=0,
又f(1)=-1+a+b+c=-2得a+b+c=-1,
又函数g(x)=-x^3+bx+c+3是奇函数,
∴c=-3.∴a=-2,b=4,c=-3,
∴f(x)=-x^3-2x^2+4x-3.
f′(x)=-3x^2-4x+4=-(3x-2)(x+2),令f(x)=0,得x= 2/3或x=-2,
当x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,函数f(x)在此区间上单调递减;
当x∈ (-2,2/3)时,f′(x)>0,函数f(x)在此区间单调递增;
当x∈ (2/3,+∞)时,f′(x)<0,函数f(x)在此区间上单调递减;
所以f(x)极小=f(-2)=-11,f(x)极大=f (2/3)=-41/27..
有上可知函数f(x)的解析式,先对函数f(x)求导,再利用极值概念加以求解即可.
f′(x)=-3x^2+2ax+b,
∵函数f(x)在x=1处的切线斜率为-3,
∴f′(1)=-3+2a+b=-3,即2a+b=0,
又f(1)=-1+a+b+c=-2得a+b+c=-1,
又函数g(x)=-x^3+bx+c+3是奇函数,
∴c=-3.∴a=-2,b=4,c=-3,
∴f(x)=-x^3-2x^2+4x-3.
f′(x)=-3x^2-4x+4=-(3x-2)(x+2),令f(x)=0,得x= 2/3或x=-2,
当x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,函数f(x)在此区间上单调递减;
当x∈ (-2,2/3)时,f′(x)>0,函数f(x)在此区间单调递增;
当x∈ (2/3,+∞)时,f′(x)<0,函数f(x)在此区间上单调递减;
所以f(x)极小=f(-2)=-11,f(x)极大=f (2/3)=-41/27..
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