设函数y=f（x）满足微分方程***且其图形在点（0,1）处切线与曲线***在该点的切线重合,求函数f（x）微分方程：y＂-3y＇+2y=2e^x曲线y=x^2-x+1结果是f（x）=（1-2x）e^x求过程详解

Question

设函数y=f（x）满足微分方程***且其图形在点（0,1）处切线与曲线***在该点的切线重合,求函数f（x）
微分方程：y＂-3y＇+2y=2e^x
曲线y=x^2-x+1
结果是f（x）=（1-2x）e^x
求过程详解

Answer 1

对曲线y=x^2-x+1
y'=2x-1
y'(0)=-1
微分方程：y＂-3y＇+2y=2e^x
这是二阶常系数非齐微分方程
对应的齐方程的特征方程为r^2-3r+2=0
特征根为r1=1 r2=2
现λ＝1是特征方程的根,所以可设非齐方程的特解为y*=axe^x
代人原方程后可得a＝－2
故非齐方程的通解为y=c1e^x+c2e^2-2xe^x
代人y(0)=1 y'(0)=-1即得f（x）=（1-2x）e^x