已知椭圆:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B,若椭圆的焦距为2,且向量AF2=2向量F2B,求椭圆方程

Question

已知椭圆:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,
直线AF2交椭圆于另一点B,
若椭圆的焦距为2,且向量AF2=2向量F2B,求椭圆方程

Answer 1

椭圆的焦距为2,2c=2,c=1,
A(0,b),F2（1,0）,
设B（x2,y2),作BM⊥X轴,M为垂足,
∵向量AF2=2向量F2B,
∴|AF2|=2|F2B|,
∵△AOF2∽△BMF2,
∴|OF2|/F2M|=|AF2|/|F2B|=2,
|OF2|=1,|F2M|=1/2,
|OM|=3/2,
|BM|=|OA|/2=b/2,
a^2-c^2=b^2,
a^2=1+b^2,
椭圆方程为：x^2/(1+b^2)+y^2/b^2=1,
将B点坐标代入方程,
（3/2）^2/(1+b^2)+(b/2)^2/b^2=1,
(9/4)/(1+b^2)+1/4=1,
b^2=2,
a^2=1+b^2=3,
∴椭圆方程为：x^2/3+y^2/2=1.