已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{an}的公差不为0，数列{bn}满足bn=（an-1）2n，求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₃=9，a₁，a₃，a₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的公差不为0，数列{b_n}满足b_n=（a_n-1）2ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）等差数列{a_n}公差为d，首项为a₁，
∵a₁，a₃，a₇成等比数列．
∴a₃²=a₁a₇，
即（a₁+2d）²=a₁（a₁+6d），
化简得d=(1)/(2)a₁，或d=0．
当d=(1)/(2)a₁，S₃=3a₁+(3×2)/(2)×(1)/(2)a₁=9，得a₁=2，d=1．
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）=n+1，即a_n=n+1，
数列{a_n}的通项公式a_n=n+1；
当d=0时，S₃=3a₁=9，a₁=3，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=3；
（2）若数列{a_n}的公差不为0，a_n=n+1，
b_n=（a_n-1）2ⁿ=（n+1-1）2ⁿ=n2ⁿ，
∴b_n=n•2ⁿ，
数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，
两式相减：得-T_n=2+2²+2²+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹，
=2ⁿ⁺¹-2-n×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．