设δ＞0，f（x）在[-δ，+δ]上有定义，f（x）=0，且满足limx→0ln(1−2x)+2xf(x)x2=0，考察函数f（x）在x=0处的可微性，若可微，则求f′（0）．

Question

设δ＞0，f（x）在[-δ，+δ]上有定义，f（x）=0，且满足

lim

x→0

(ln(1−2x)+2xf(x))/(x2)=0，考察函数f（x）在x=0处的可微性，若可微，则求f′（0）．

Answer 1

∵

lim

x→0

(ln(1−2x)+2xf(x))/(x2)=0
∴∀ɛ＞0，∃δ＞0，∀x∈（-δ，+δ），有−ɛ＜(ln(1−2x)+2xf(x))/(x2)＜ɛ
即−(ɛ)/(2)−(ln(1−2x))/(2x2)＜(f(x))/(x)＜(ɛ)/(2)−(ln(1−2x))/(2x2)
而

lim

x→0

(−ln(1−2x))/(2x2)＝

lim

x→0

(2x)/(2x2)＝∞
∴根据夹逼定理，有

lim

x→0

(f(x))/(x)＝∞
因此f′（0）不存在
故f（x）在x=0处不可微．