中点在原点,焦点在x轴上的椭圆与直线x+y-1=0相交于两点.M为AB中点,直线OM斜率为1/4,短轴长为2求椭圆方程.我M坐标已经求出来了,就是c怎么求?

Question

中点在原点,焦点在x轴上的椭圆与直线x+y-1=0相交于两点.M为AB中点,直线OM斜率为1/4,短轴长为2
求椭圆方程.
我M坐标已经求出来了,就是 c怎么求?

Answer 1

设椭圆方程是:mx^2+ny^2=1代入x+y-1=0得：（m+n）x^2-2nx+n-1=0
设A、B的坐标为（x1,y1）,（x2,y2）,则有：
x1+x2=2n/(m+n）
y1+y2=1-x1+1-x2=2-（x1+x2）=2m/(m+n)
M的坐标为：（X,Y）,则X= (x1+x2)/2=n/(m+n）,Y=(y1+y2)/2=m/(m+n)
0M的斜率k=Y/X=[m/(m+n)]/[n/(m+n）]=m/n=1/4
故有n=4m
又短轴长是2,即有1/n=1, n=1, m=1/4
故方程是x^2/4+y^2=1