113.已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的一条准线为x=1，弦AB的倾斜角为π/4,M为AB的中点……113.已知椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)的一条准线为x=1，弦AB的倾斜角为π/4,M为AB的中点，直线AB与

Question

113.已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的一条准线为x=1，弦AB的倾斜角为π/4,M为 AB的中点……
113.已知椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)的一条准线为x=1，弦AB的倾斜角为π/4,M为 AB的中点，直线AB与OM的夹角为α(O为原点).
(1)当tanα=2时，求椭圆的方程；
(2)当2＜tanα＜3时，求证:(√2/3)＜b＜1/2.

Answer 1

(1)设A点坐标为(x1,y1)，B点坐标为(x2,y2)
故有：
b²x1²+a²y1²-a²b²=0
b²x2²+a²y2²-a²b²=0
两式相减，得：
b²(x1²-x2²)=-a²(y1²-y2²)
b²(x1-x2)(x1+x2)=-a²(y1-y2)(y1+y2)
由弦AB的倾斜角为π/4，那么有：
(y1-y2)/(x1-x2)=1
代入上式，得：
b²(x1+x2)=-a²(y1+y2)
若x1+x2=0，那么一定有y1+y2=0，则A、B两点关于原点O对称，即A、B经过原点，其方程为y=x
O点和M点重合，α为任意值
若x1+x2≠0，则有：
(y1+y2)/(x1+x2)=-b²/a²
直线OM的斜率：
kOM=[(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]=-b²/a²
由tanα=2
得：tanα=|-b²/a²-1|/(1-b²/a²)=2
解得：a²=3b²
又由a²=c，解得：
c=2/3，a=√6/3，b=√2/3
故此时椭圆方程为：
3x²/2+9y²/2=1
(2)
由tanα=|-b²/a²-1|/(1-b²/a²)=(b²/a²+1)/(1-b²/a²)得：
(1+tanα)b²=a²(tanα-1)
由2＜tanα＜3，a>b>0得：
b²/a²=(tanα-1)/(1+tanα)=1-2/(1+tanα)
故1/3