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m,n均为正整数,若关于x的方程4x2-2mx+n=0的两个实数根都大于1,且小于2,求m,n的值.
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m,n均为正整数,若关于x的方程4x2-2mx+n=0的两个实数根都大于1,且小于2,求m,n的值.
▼优质解答
答案和解析
设f(x)=4x2-2mx+n,
∵关于x的方程4x2-2mx+n=0有两个实数根,
∴△=(2m)2-16n≥0,
∴m2≥4n,
∵此二次函数的开口向上,关于x的方程4x2-2mx+n=0的两个实数根都大于1,且小于2(如草图),
∴f(1)=4-2m+n>0,f(2)=16-4m+n>0,
设方程4x2-2mx+n=0两根为x1,x2,
由韦达定理知:x1+x2=
,x1x2=
,
∵x1,x2都大于1,且小于2,
∴2<
<4,1<
<4,
∴4<m<8,4<n<16,
∵m,n均为正整数,
∴(1)当m=5,由m2-4n≥0,得n=5或6,但均不满足4-2m+n>0,
∴m≠5;
(2)当m=6,由m2-4n>0得n=5,6,7,8,9,
∵n,5,6,7,8不满足4-2m+n>0,16-4m+n>0,
∴n=9;
(3)当m=7,由m2-4n≥0得n=5,6,7,8,9,10,11,12.
∵n=5,6,7,8,9,10,11,12不满足4-2m+n>0,16-4m+n>0,
∴此时无解;
∴m=6,n=9.
∵关于x的方程4x2-2mx+n=0有两个实数根,
∴△=(2m)2-16n≥0,
∴m2≥4n,
∵此二次函数的开口向上,关于x的方程4x2-2mx+n=0的两个实数根都大于1,且小于2(如草图),
∴f(1)=4-2m+n>0,f(2)=16-4m+n>0,
设方程4x2-2mx+n=0两根为x1,x2,
由韦达定理知:x1+x2=
m |
2 |
n |
4 |
∵x1,x2都大于1,且小于2,
∴2<
m |
2 |
n |
4 |
∴4<m<8,4<n<16,
∵m,n均为正整数,
∴(1)当m=5,由m2-4n≥0,得n=5或6,但均不满足4-2m+n>0,
∴m≠5;
(2)当m=6,由m2-4n>0得n=5,6,7,8,9,
∵n,5,6,7,8不满足4-2m+n>0,16-4m+n>0,
∴n=9;
(3)当m=7,由m2-4n≥0得n=5,6,7,8,9,10,11,12.
∵n=5,6,7,8,9,10,11,12不满足4-2m+n>0,16-4m+n>0,
∴此时无解;
∴m=6,n=9.
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