已知函数f(x)=lg(x+ax+1-1)，其中a是大于零的常数．（1）求函数f（x）的定义域；（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）的最小值；（3）若∀x∈[0，+∞）恒有f（x）＞0，试确定实数a的取值范围．

Question

已知函数f(x)=lg(x+(a)/(x+1)-1)，其中a是大于零的常数．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）的最小值；
（3）若∀x∈[0，+∞）恒有f（x）＞0，试确定实数a的取值范围．

Answer 1

（1）x+(a)/(x+1)-1＞0，(x2+a-1)/(x+1)＞0，
因为a＞0，故当a＞1时，定义域为（-1，+∞）；
当a=1时，定义域为（-1，0）∪（0，+∞）；
当0＜a＜1时，定义域为(-1，-√(1-a))∪(√(1-a)，+∞)．
（2）令g(x)=x+(a)/(x+1)-1=x+1+(a)/(x+1)-2，
当a∈（1，4）时，由（1）得x∈（-1，+∞），故x+1＞0，
所以g(x)=x+(a)/(x+1)-1=x+1+(a)/(x+1)-2≥2√(a)-2，
当且仅当x+1=(a)/(x+1)即x=√(a)-1时等号成立．
故f（x）的最小值为lg(2√(a)-2)．
（3）∀x∈[0，+∞），恒有f（x）＞0，
即x+(a)/(x+1)-1＞1，(a)/(x+1)＞2-x，又x∈[0，+∞），
则a＞（2-x）（x+1），a＞-x²+x+2恒成立，故a＞(9)/(4)．