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如图,己知正四棱棱柱AC1中,AB=BC=1,BB1=2,连接B1C和A1C(1)在线段CC1上求一点E使得A1C⊥面BED(即求出CE的长);(2)求点A到平面A1B1C的距离;(3)求直线DE与平面A1B1C所成角的正弦值.
题目详情
如图,己知正四棱棱柱AC1中,AB=BC=1,BB1=2,连接B1C和A1C
(1)在线段CC1上求一点E使得A1C⊥面BED(即求出CE的长);
(2)求点A到平面A1B1C的距离;
(3)求直线DE与平面A1B1C所成角的正弦值.
(1)在线段CC1上求一点E使得A1C⊥面BED(即求出CE的长);
(2)求点A到平面A1B1C的距离;
(3)求直线DE与平面A1B1C所成角的正弦值.
▼优质解答
答案和解析
法一:(1)∵A1C⊥面BED,∴A1C⊥BE,
由A1B1⊥面BB1C1C知,A1C为面BB1C1C的斜线,B1C为其射影,∴B1C⊥BE.
∵△BCB1~△BCE,∴
=
=
⇒CE=
.
(2)可以证明AB∥面A1B1C,所以点A到平面A1B1C的距离与点B到平面A1B1C的距离相等;
又BE⊥A1C,BE⊥B1C,∴BE⊥面A1B1C,∴线段BF的长就是所求的距离.在△BCB1中可以求得BF=
.
(3)连接DF有(2)知EF⊥面A1B1C,所以∠EDF就是DE与平面A1B1C所成角.在△BCE中求得EF=
,
△DCE中求得DE=
,∴sin∠EDF=
=
.
法二:本题还可以用向量法求解如下:
(1)根据正四棱棱柱性质,建立空间直角坐标系A-xyz,
B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),B1(1,0,2),A1(0,0,2).
设E(1,1,z),
∵A1C⊥面BED,
∴A1C⊥BE,∴
•
=0,
∴(1,1,-2)•(0,1,z)=0,
∴z=CE=
.
(2)由(1)可以证明BE⊥面A1B1C,所以
由A1B1⊥面BB1C1C知,A1C为面BB1C1C的斜线,B1C为其射影,∴B1C⊥BE.
∵△BCB1~△BCE,∴
CE |
BC |
BC |
BB1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
(2)可以证明AB∥面A1B1C,所以点A到平面A1B1C的距离与点B到平面A1B1C的距离相等;
又BE⊥A1C,BE⊥B1C,∴BE⊥面A1B1C,∴线段BF的长就是所求的距离.在△BCB1中可以求得BF=
2
| ||
5 |
(3)连接DF有(2)知EF⊥面A1B1C,所以∠EDF就是DE与平面A1B1C所成角.在△BCE中求得EF=
| ||
10 |
△DCE中求得DE=
| ||
2 |
EF |
DE |
1 |
5 |
法二:本题还可以用向量法求解如下:
(1)根据正四棱棱柱性质,建立空间直角坐标系A-xyz,
B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),B1(1,0,2),A1(0,0,2).
设E(1,1,z),
∵A1C⊥面BED,
∴A1C⊥BE,∴
A1C |
BE |
∴(1,1,-2)•(0,1,z)=0,
∴z=CE=
1 |
2 |
(2)由(1)可以证明BE⊥面A1B1C,所以
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