关于n趋于无穷,(n+1/2)ln(1+1/n)-1用泰勒公式得到和答案一样的1/12n^2.把(n+1/2)化进ln成指数,用e的那个重要极限代换化简得到结果是1/2n.为什么第二次不对?如果是因为“n的同一变化过程”,那什么

Question

关于n趋于无穷,(n+1/2)ln(1+1/n)-1
用泰勒公式得到和答案一样的1/12n^2.把(n+1/2)化进ln成指数,用e的那个重要极限代换化简得到结果是1/2n.为什么第二次不对?如果是因为“n的同一变化过程”,那什么叫同一变化过程?

Answer 1

趋于0,罗比达法则,泰勒公式是绝对准确的方法,没有去掉高阶无穷小项.但是等价转换都是去掉高阶无穷小项的,在减法中不适用,x趋于0举个例子tanx-x等价转换=0了,他就是去掉了高阶无穷小项,所以会造成错误,泰勒公式tanx-x=1/3 x³.
(n+1/2)ln(1+1/n)-1=1/2ln(1+1/n)+ln（1+1/n）^n-1=如果你把ln（1+x）等效于x,ln(1+x)^(1/x)等效于lne=1那么,一些未知的无穷小项被忽略了,而1/2n应该与前边存在的-1/2n项.
所以等效和等价无穷小在用于加减法时很多错误,此时用泰勒公式是绝对没错的.