如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，E为BC上一动点（不与B重合），作EF⊥AB于F，FE的延长线交DC的延长线于点G，设BE=x，△DEF的面积为S．（1）求证：△BEF∽△CEG；（2）求用x表示

Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，E为BC上一动点（不与B重合），作EF⊥AB于F，FE的延长线交DC的延长线于点G，设BE=x，△DEF的面积为S．
（1）求证：△BEF∽△CEG；
（2）求用x表示S的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当E运动到何处时，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

（1）证明：∵EF⊥AB，AB∥DC，∴EF⊥DG．∴∠BFG=∠G=90°．
又∵∠BEF=∠CEG，∴△BEF∽△CEG；
（2）由（1）得DG为△DEF中EF边上的高，设BE=x，
在Rt△BFE中，∠B=60°，EF=BEsinB=(√(3))/(2)x．
在Rt△CEG中，CE＝3−x，GC＝(3−x)cos60°＝(3−x)/(2)，∴DG＝DC+GC＝(11−x)/(2)，
∴S＝(1)/(2)EF•DG＝−(√(3))/(8)x2+(11√(3))/(8)x，（其中0＜x≤3）；
（3）∵a＝−(√(3))/(8)＜0，对称轴x＝(11)/(2)＞3，∴当0＜x≤3时，S随x的增大而增大，
所以，当x=3时，即E与C重合时，取最大值：Smax＝3√(3)．