如图,已知在三角形abc中,ab等于4,BC等于2,以点b为圆心,线段bc长为半径的弧交边ac与于点d,连接bd,且角dbc等于角bac.p是边bc延长线上一点,过点p作pq垂直bp,交线段bd的延长线于点q.连接aq.设cp等于x,

Question

如图,已知在三角形abc中,ab等于4,BC等于2,以点b为圆心,线段bc长为半径的弧交边ac与于点d,连接bd,且角d b c等于角bac.p是边bc延长线上一点,过点p作pq垂直bp,交线段bd的延长线于点q.连接aq.设c p等于x,dq等于y,1,求CD的长.2,求y关于x的函数解析式.3,当角daq等于二倍的角bac时,求c p的值.

Answer 1

（1）∵∠DBC=∠BAC,∠BCD=∠ACB,
∴△BDC∽△ABC,
∴
CD
BD
＝
BC
AB
,
∵AB=4,BC=BD=2,
∴CD=1；
（2）∵BC=BD,
∴∠BCD=∠BDC．
∵∠DBC=∠BAC,∠BCD=∠ACB,
∴∠ABC=∠BDC．
∴∠ABC=∠ACB．
∴AC=AB=4,
作AH⊥BC,垂足为点H．
∴BH=CH=1．
作DE⊥BC,垂足为点E,可得DE∥AH．
∴
CE
CH
＝
CD
CA
,即
CE
1
＝
1
4
．
∴CE＝
1
4
,BE＝
7
4
．
又∵DE∥PQ
∴
DQ
BD
＝
EP
BE
,即
y
2
＝
x+
1
4
7
4
,
整理,得y＝
8
7
x+
2
7
．
定义域为x＞0．
（3）
∵∠DBC+∠DCB=∠DAQ+∠DQA,∠DCB=∠ABD+∠DBC,
∴2∠DBC+∠ABD=∠DAQ+∠DQA．
∵∠DAQ=2∠BAC,∠BAC=∠DBC,
∴∠ABD=∠DQA．
∴AQ=AB=4．
作AF⊥BQ,垂足为点F,可得QF＝
y+2
2
,DF＝
y−2
2
．
∴32−(
y−2
2
)2＝42−(
y+2
2
)2．
解得y＝
7
2
,
∴
8
7
x+
2
7
＝
7
2
．
解得x＝
45
16
,
即CP＝
45
16