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男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1名,选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男运动员3名,女运动员2名;(2)至少有1名女运动员;(3)队长中至少有1人
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男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1名,选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?
(1)男运动员3名,女运动员2名;
(2)至少有1名女运动员;
(3)队长中至少有1人参加;
(4)既要有队长,又要有女运动员.
(1)男运动员3名,女运动员2名;
(2)至少有1名女运动员;
(3)队长中至少有1人参加;
(4)既要有队长,又要有女运动员.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意知本题是一个分步计数问题,
首先选3名男运动员,有C63种选法.
再选2名女运动员,有C42种选法.
共有C63•C42=120种选法.
(2)法一(直接法):“至少1名女运动员”包括以下几种情况:
1女4男,2女3男,3女2男,4女1男.
由分类加法计数原理可得有C41•C64+C42•C63+C43•C62+C44•C61=246种选法.
法二(间接法):“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”.
从10人中任选5人,有C105种选法,其中全是男运动员的选法有C65种.
所以“至少有1名女运动员”的选法有C105-C65=246种.
(3)“只有男队长”的选法为C84种;
“只有女队长”的选法为C84种;
“男、女队长都入选”的选法为C83种;
∴共有2C84+C83=196种.
∴“至少1名队长”的选法有C105-C85=196种选法.
(4)当有女队长时,其他人选法任意,共有C94种选法.
不选女队长时,必选男队长,共有C84种选法.
其中不含女运动员的选法有C54种,
∴不选女队长时共有C84-C54种选法.
既有队长又有女运动员的选法共有C94+C84-C54=191种.
首先选3名男运动员,有C63种选法.
再选2名女运动员,有C42种选法.
共有C63•C42=120种选法.
(2)法一(直接法):“至少1名女运动员”包括以下几种情况:
1女4男,2女3男,3女2男,4女1男.
由分类加法计数原理可得有C41•C64+C42•C63+C43•C62+C44•C61=246种选法.
法二(间接法):“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”.
从10人中任选5人,有C105种选法,其中全是男运动员的选法有C65种.
所以“至少有1名女运动员”的选法有C105-C65=246种.
(3)“只有男队长”的选法为C84种;
“只有女队长”的选法为C84种;
“男、女队长都入选”的选法为C83种;
∴共有2C84+C83=196种.
∴“至少1名队长”的选法有C105-C85=196种选法.
(4)当有女队长时,其他人选法任意,共有C94种选法.
不选女队长时,必选男队长,共有C84种选法.
其中不含女运动员的选法有C54种,
∴不选女队长时共有C84-C54种选法.
既有队长又有女运动员的选法共有C94+C84-C54=191种.
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