反常积分瑕点选取的问题∫(0,1)dx/√x(1-x^2)为什么不用考虑x=1为瑕点,而考虑x=0为瑕点x(1-x^2)都在根号里

Question

反常积分 瑕点选取的问题
∫ (0,1) dx / √x (1-x^2)
为什么不用考虑x=1为瑕点,而考虑x=0为瑕点
x (1-x^2)都在根号里

Answer 1

瑕点定义：当x趋于a时,f(x)趋于无穷或者f(x)无界,则称x＝a是瑕积分f(x)的瑕点.
本题中,x趋于1时,√x (1-x^2)趋于0,因此
1/√x (1-x^2)趋于无穷,x＝1是瑕点,因此讨论瑕积分的敛散性时需要考虑x＝1这一点.
当x趋于1时,1/√x (1-x^2)等价于1/√2(1－x),而1/√2(1－x)的瑕积分收敛.
另外,当x趋于0时,1/√x (1-x^2)等价于1/√x ,因此瑕积分也收敛.
综上,原瑕积分收敛.