欧几里得算法提问在看下面证明时有些不明白——————————————————————————————————欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数.

Question

欧几里得算法提问
在看下面证明时有些不明白
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欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数.其计算原理依赖于下面的定理：
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明：a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数,则有
d|a,d|b,而r = a - kb,因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数,则
d | b ,d |r ,但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证
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d|a是d除以a还是d%a?
因为如果是d除以a的话怎么也想不明白,所以我认为是d%a
即使是而r = a - kb怎么就能得到d|r的结论?
本人是个数学初学者,请多多关照

Answer 1

问题一 d|a表示d整除a,也就是说d是a的一个因子.
证明：a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数,则有
d|a,d|b,而r = a - kb,因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数 --------这一步很简单,d|a,d|b,而r = a - kb,d当然能整除r(因为d是a 和b的因子,当然也是r = a - kb的因子)
假设d 是(b,a mod b)的公约数,则
d | b ,d |r ,但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数 ---------d | b ,d |r ,而a= kb +r ,当然d|a,即d是a 和b 的公约数.
通过上两步,d既然是a,b的公约数,也是b和a mod b的公约数,这就证明了欧几里得算法.
你说的问题二 ,因为d整除a,而且d整除b,d当然能整除r = a - kb.
举个例子 3|12 ,3|15,3当然整除12-15k(k为整数).