如图，AB是O的直值，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F．（1）试判断线段DF和CE的数量关系，并说明理由．（2）若AB=10，AE=3，BF=5，求EF和EC的长．

Question

如图，AB是 O的直值，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F．

（1）试判断线段DF和CE的数量关系，并说明理由．
（2）若AB=10，AE=3，BF=5，求EF和EC的长．

Answer 1

（1）DF=CE，
理由是：如图1，过O作OQ⊥EF于Q，
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴BF∥OQ∥AE，
∵BO=AO，
∴QF=QE，
∵OQ⊥DC，OQ过O，
∴DQ=CQ，
∴QF-DQ=QE-CQ，
∴DF=CE；

（2） 如图2，过A作AM∥EF交BF于M，交OQ于N，连接OD，
∵AB=10，AE=3，BF=5，
∴BM=5-3=2，
由勾股定理得：EF=AM=√(102-22)=4√(6)，
∴AN=QE=FQ=2√(6)，
在Rt△AON中，ON=√(OA2-AN2)=√(52-(2√(6))2)=1，
∴OQ=2+1=3，
在Rt△OQD中，由勾股定理得：DQ=√(OD2-OQ2)=√(52-32)=4，
∴EC=DF=QF-DQ=2√(6)-4．