已知x1，x2是关于x的方程：x2-kx+t=0（k，t∈R）的两个根，且x1＞0，x2＞0，记f(t)＝(1x1−x1)(1x2−x2)．（1）求出k与t之间的关系；（2）若f（t）在其定义域内是单调函数，试求k的取值范围；（3）

Question

已知x₁，x₂是关于x的方程：x²-kx+t=0（k，t∈R）的两个根，且x₁＞0，x₂＞0，记f(t)＝((1)/(x1)−x1)((1)/(x2)−x2)．
（1）求出k与t之间的关系；
（2）若f（t）在其定义域内是单调函数，试求k的取值范围；
（3）解不等式：f（t）≤4．

Answer 1

（1）由题意得

k2−4t≥0    

x1+x2＝k＞0

x1•x2＝t＞0

⇒0＜t≤(k2)/(4)（4分）
（2）f（t）的定义域为{t|0＜t≤(k2)/(4)，k＞0}，f(t)＝((1)/(x1)−x1)((1)/(x2)−x2)=t+((1−k2))/(t)+2
当函数f（t）在定义域上单调递增时，k≥1；
当函数f（t）在定义域上单调递减时，0＜k≤2√(√(5)−2)
∴当f（t）在其定义域内是单调函数时，k的取值范围为(0，2√(√(5)−2)]∪[1，+∞)．（10分）
（3）∵