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某公司生产一种产品,第一年投入资金1000万元,出售产品收入40万元,预计以后每年的投入资金是上一年的一半,出售产品所得收入比上一年多80万元,同时,当预计投入的资金低于20
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某公司生产一种产品,第一年投入资金1 000 万元,出售产品收入 40 万元,预计以后每年的投入资金是上一年的一半,出售产品所得收入比上一年多 80 万元,同时,当预计投入的资金低于 20 万元时,就按 20 万元投入,且当年出售产品收入与上一年相等.
(Ⅰ)求第n年的预计投入资金与出售产品的收入;
(Ⅱ)预计从哪一年起该公司开始盈利?(注:盈利是指总收入大于总投入)
(Ⅰ)求第n年的预计投入资金与出售产品的收入;
(Ⅱ)预计从哪一年起该公司开始盈利?(注:盈利是指总收入大于总投入)
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)设第n年的投入资金和收入金额分别为an万元,bn万元,
依题意得,当投入的资金不低于20万元,即an≥20,an=
an+1bn=bn+1+80,n≥2,
此时{an}是首项为1000,公比为
的等比数列,
{bn}是首项为40,公差为80的等差数列,
所以an=1000×(
)n-1,bn=80n-40,
令an<20,得2n-1>50,解得n≥7
所以an=
,bn=
(Ⅱ)Sn=
-
=2000×(
)n+40n2-2000,
所以Sn-Sn-1=-2000×(
)n+80n-40,n≥2,
因为f(x)=-2000×(
)x+80x-40为增函数,f(3)<0,f(4)<0,
所以当2≤n≤3时,Sn+1>Sn,当4≤n≤6时,Sn+1<Sn,
又因为S1<0,S6=-528.75<0,
所以1≤n≤6,Sn<0,即前6年未盈利,
当n≥7,Sn=S6+(b7-a7)+(b8-a8)+…+(bn-an)=-528.75+420(n-6),
令Sn>0,得n≥8
综上,预计公司从第8年起开始盈利.
依题意得,当投入的资金不低于20万元,即an≥20,an=
1 |
2 |
此时{an}是首项为1000,公比为
1 |
2 |
{bn}是首项为40,公差为80的等差数列,
所以an=1000×(
1 |
2 |
令an<20,得2n-1>50,解得n≥7
所以an=
|
|
(Ⅱ)Sn=
n[40+(80n-40)] |
2 |
1000×[1-(
| ||
1-
|
1 |
2 |
所以Sn-Sn-1=-2000×(
1 |
2 |
因为f(x)=-2000×(
1 |
2 |
所以当2≤n≤3时,Sn+1>Sn,当4≤n≤6时,Sn+1<Sn,
又因为S1<0,S6=-528.75<0,
所以1≤n≤6,Sn<0,即前6年未盈利,
当n≥7,Sn=S6+(b7-a7)+(b8-a8)+…+(bn-an)=-528.75+420(n-6),
令Sn>0,得n≥8
综上,预计公司从第8年起开始盈利.
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