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的一个定点,AC⊥x轴于点M,交直线y=-x于点N.若点P是线段ON上的一个动点,∠APB=30°,BA⊥PA,则点P在线段ON上运动时,A点不变,B点随之运动.求当点P从点O运动到点N时,点B运动的路径长是
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的一个定点,AC⊥x轴于点M,交直线y=-x于点N.若点P是线段ON上的一个动点,∠APB=30°,BA⊥PA,则点P在线段ON上运动时,A点不变,B点随之运动.求当点P从点O运动到点N时,点B运动的路径长是________.
▼优质解答
答案和解析
由题意可知,OM=,点N在直线y=-x上,AC⊥x轴于点M,则△OMN为等腰直角三角形,ON=OM=×=.
如答图①所示,设动点P在O点(起点)时,点B的位置为B0,动点P在N点(起点)时,点B的位置为Bn,连接B0Bn.
∵AO⊥AB0,AN⊥ABn,∴∠OAC=∠B0ABn,
又∵AB0=AO•tan30°,ABn=AN•tan30°,∴AB0:AO=ABn:AN=tan30°,
∴△AB0Bn∽△AON,且相似比为tan30°,
∴B0Bn=ON•tan30°=×=.
现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径(或轨迹).
如答图②所示,当点P运动至ON上的任一点时,设其对应的点B为Bi,连接AP,ABi,B0Bi.
∵AO⊥AB0,AP⊥ABi,∴∠OAP=∠B0ABi,
又∵AB0=AO•tan30°,ABi=AP•tan30°,∴AB0:AO=ABi:AP,
∴△AB0Bi∽△AOP,∴∠AB0Bi=∠AOP.
又∵△AB0Bn∽△AON,∴∠AB0Bn=∠AOP,
∴∠AB0Bi=∠AB0Bn,
∴点Bi在线段B0Bn上,即线段B0Bn就是点B运动的路径(或轨迹).
综上所述,点B运动的路径(或轨迹)是线段B0Bn,其长度为.
故答案为:.
由题意可知,OM=,点N在直线y=-x上,AC⊥x轴于点M,则△OMN为等腰直角三角形,ON=OM=×=.
如答图①所示,设动点P在O点(起点)时,点B的位置为B0,动点P在N点(起点)时,点B的位置为Bn,连接B0Bn.
∵AO⊥AB0,AN⊥ABn,∴∠OAC=∠B0ABn,
又∵AB0=AO•tan30°,ABn=AN•tan30°,∴AB0:AO=ABn:AN=tan30°,
∴△AB0Bn∽△AON,且相似比为tan30°,
∴B0Bn=ON•tan30°=×=.
现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径(或轨迹).
如答图②所示,当点P运动至ON上的任一点时,设其对应的点B为Bi,连接AP,ABi,B0Bi.
∵AO⊥AB0,AP⊥ABi,∴∠OAP=∠B0ABi,
又∵AB0=AO•tan30°,ABi=AP•tan30°,∴AB0:AO=ABi:AP,
∴△AB0Bi∽△AOP,∴∠AB0Bi=∠AOP.
又∵△AB0Bn∽△AON,∴∠AB0Bn=∠AOP,
∴∠AB0Bi=∠AB0Bn,
∴点Bi在线段B0Bn上,即线段B0Bn就是点B运动的路径(或轨迹).
综上所述,点B运动的路径(或轨迹)是线段B0Bn,其长度为.
故答案为:.
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