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已知抛物线y=x2-2ax+a2-2的顶点为A,P点在该抛物线的对称轴上,且在A点上方,PA=3.(1)求A、P点的坐标(用含a的代数式表示);(2)点Q在抛物线上,求线段PQ的最小值;(3)若直线y=x+a-2与
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已知抛物线y=x2-2ax+a2-2的顶点为A,P点在该抛物线的对称轴上,且在A点上方,PA=3.
(1)求A、P点的坐标(用含a的代数式表示);
(2)点Q在抛物线上,求线段PQ的最小值;
(3)若直线y=x+a-2与该抛物线交于B、C两点,M点是线段BC的中点.当a的值在某范围内变化时,M点的运动轨迹是一条直线的一部分,请求出该直线的解析式,并写出自变量的取值范围.
(1)求A、P点的坐标(用含a的代数式表示);
(2)点Q在抛物线上,求线段PQ的最小值;
(3)若直线y=x+a-2与该抛物线交于B、C两点,M点是线段BC的中点.当a的值在某范围内变化时,M点的运动轨迹是一条直线的一部分,请求出该直线的解析式,并写出自变量的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵抛物线y=x2-2ax+a2-2,
∴y=(x-a)2-2,
∴A(a,-2),
∵P点在该抛物线的对称轴上,且在A点上方,PA=3.
∴P(a,1);
(2)∵点Q在抛物线y=x2-2ax+a2-2上,
∴设Q(m,(m-a)2-2),则PQ2=(m-a)2+[(m-a2)-3]2
令(m-a)2=n,则PQ2=n+(n-3)2=(n-
)2+
,
当n=
时,PQ2最小,即PQ最小
∴PQ的最小值=
=
;
(3)由
得x2-(2a+1)x+a2-a=0
∴x1+x2=2a+1
∴y1+y2=x1+x2+2a-4=4a-3,
∴M(
,
),
设M(x0,y0)
∴x0=
,y0=
,
∴y0=2x0-
,
∴点M在直线y=2x-
上
又∵△=(2a+1)2-4(a2-a)>0,则a>-
,
∴x0>
∴直线为y=2x-
(x>
).
∴y=(x-a)2-2,
∴A(a,-2),
∵P点在该抛物线的对称轴上,且在A点上方,PA=3.
∴P(a,1);
(2)∵点Q在抛物线y=x2-2ax+a2-2上,
∴设Q(m,(m-a)2-2),则PQ2=(m-a)2+[(m-a2)-3]2
令(m-a)2=n,则PQ2=n+(n-3)2=(n-
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当n=
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∴PQ的最小值=
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(3)由
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∴x1+x2=2a+1
∴y1+y2=x1+x2+2a-4=4a-3,
∴M(
2a+1 |
2 |
4a−3 |
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设M(x0,y0)
∴x0=
2a+1 |
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4a−3 |
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∴y0=2x0-
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∴点M在直线y=2x-
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又∵△=(2a+1)2-4(a2-a)>0,则a>-
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∴x0>
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∴直线为y=2x-
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