已知双曲线C:x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，A，B为其左右顶点，点P为双曲线C在第一象限的任意一点，点O为坐标原点，若PA，PB，PO的斜率为k1，k2，k3，则m=k1k2k3的取值范围为（）A.

Question

已知双曲线C:(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，A，B为其左右顶点，点P为双曲线C在第一象限的任意一点，点O为坐标原点，若PA，PB，PO的斜率为k₁，k₂，k₃，则m=k₁k₂k₃的取值范围为（　　）
A. （0，3√(3)）
B. （0，√(3)）
C. （0，(√(3))/(9)）
D. （0，8）

Answer 1

∵双曲线C：(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，
∴e=(c)/(a)=2，∴b=√(c2-a2)=√(3)a，
设P（x，y），∵点P为双曲线C在第一象限的任意一点，∴(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1，
∵A，B为双曲线C的左右顶点，点O为坐标原点，PA，PB，PO的斜率为k₁，k₂，k₃，
∴k₁k₂=(y)/(x+a)•(y)/(x-a)=(y2)/(x2-a2)=(b2)/(a2)=3，
又∵双曲线渐近线为y=±√(3)x，∴0＜k₃＜√(3)，
∴0＜m=k₁k₂k₃＜3√(3)，
故选：A．