已知函数f（x）=lnx+b•x2的图象过点（1，0）（I）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f(x)≥tx−1nx(t为实数）恒成立，求t的取值范围；（Ⅲ）当m＞0时，讨论F(x)＝f(x)+x22−m2+1mx在区间（0，2）上极值点

Question

已知函数f（x）=lnx+b•x²的图象过点（1，0）
（I）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f(x)≥(t)/(x)−1nx(t为实数）恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）当m＞0时，讨论F(x)＝f(x)+(x2)/(2)−(m2+1)/(m)x在区间（0，2）上极值点的个数．

Answer 1

（I）∵函数f（x）=1nx+b•x²的图象过点（1，0），
∴0=ln1+b•1²，解得b=0，∴f（x）的解析式为f（x）=1nx；
（Ⅱ）f(x)≥(t)/(x)−1nx恒成立，即lnx≥(t)/(x)−1nx，由x＞0可得t≤2xlnx，
构造函数h（x）=2xlnx，x＞0，只需t≤h_min（x）即可，
可得h′（x）=2（lnx-1），故当x∈（0，(1)/(e)）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数，
当x∈（(1)/(e)，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，
故h_min（x）=h（(1)/(e)）=−(2)/(e)，故t≤−(2)/(e)；
（Ⅲ）由（I）知，f（x）=1nx，F(x)＝lnx+(x2)/(2)−(m2+1)/(m)x，（x＞0）
∴F′(x)＝(1)/(x)+x−(m2+1)/(m)=((x−m)(x−(1)/(m)))/(x)，令其为0可得x=m，或x=(1)/(m)，
（1）当m＝(1)/(m)时，m=1，F′（x）＞0，函数在（0，2）为增函数，无极值点；
（2）当

0＜m＜2

0＜(1)/(m)＜2

，且m＜(1)/(m)，即(1)/(2)＜m＜1时，可知函数有两个极值点；
（3）当

作业帮用户 2017-09-28 举报

问题解析

（I）带点可得b=0，进而可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）f(x)≥(t)/(x)−1nx恒成立，即lnx≥(t)/(x)−1nx，由x＞0可得t≤2xlnx，构造函数h（x）=2xlnx，x＞0，只需t≤h_min（x）即可，求导数可得其最小值；
（Ⅲ）可得F(x)＝lnx+(x2)/(2)−(m2+1)/(m)x，求导数，令其为0可得x=m，或x=(1)/(m)，分（1）m＝(1)/(m)（2）

0＜m＜2

0＜(1)/(m)＜2

，且m＜(1)/(m)，（3）

0＜m＜2

(1)/(m)＞2

，或

m＞2

0＜(1)/(m)＜2

三种情况讨论．

名师点评

本题考点：

函数在某点取得极值的条件；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评：

本题考查函数取极值点的条件，涉及函数恒成立问题和分类讨论的思想，属中档题．

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