在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足，其中m，n∈R且m-2n=1。（1）求点C的轨迹方程；（2）设点C的轨迹与双曲线（a＞0，b＞0且a≠b）交于M、N两

Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足 ，其中m，n∈R且m-2n=1。
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与双曲线 （a＞0，b＞0且a≠b）交于M、N两点，且以MN为直径的圆过原点，求证： 为定值；
（3）在（2）的条件下，若双曲线的离心率不大于 ，求双曲线实轴长的取值范围。

Answer 1

（1）设C（x，y），因为 ，
则 ，
∴ ，
∵m-2n=1，
∴x+y=1，即点C的轨迹方程为x+y-1=0。
（2）由 ，得 ，
由题意 ，
设 ，
则 ，
∵以MN为直径的圆过原点，
∴ ，即 ，
∴ ，
即 ，
∴ 为定值。
（3）
∴ ，

∴ ，
∴ ，即 ， ，
∴ ，即双曲线实轴长的取值范围是 。