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某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC,其横截面如图所示,量得该拱桥占地面最宽处AB=20米,最高处点C距地面5米(即OC=5米)(1)分别以AB、OC所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的平面直
题目详情
某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC,其横截面如图所示,量得该拱桥占地面最宽处AB=20米,最高处点C距地面5米(即OC=5米)
(1)分别以AB、OC所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,求该抛物线的解析式;
(2)桥洞两侧壁上各有一盏景观灯E、F,两灯直射地面分别形成反光点H、G(E、F分别在抛物线上且关于OC对称,H、G在线段AB上),量得矩形EFGH的周长为27.5米,现公园管理人员对拱桥加固维修,在点H、G处搭建一个高3.5米的矩形“脚手架”GHMN,已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全,请问该“脚手架”的安装是否符合要求?如果符合,请说明理由;如果不符合,求出脚手架至少应调低多少米?
(1)分别以AB、OC所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,求该抛物线的解析式;
(2)桥洞两侧壁上各有一盏景观灯E、F,两灯直射地面分别形成反光点H、G(E、F分别在抛物线上且关于OC对称,H、G在线段AB上),量得矩形EFGH的周长为27.5米,现公园管理人员对拱桥加固维修,在点H、G处搭建一个高3.5米的矩形“脚手架”GHMN,已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全,请问该“脚手架”的安装是否符合要求?如果符合,请说明理由;如果不符合,求出脚手架至少应调低多少米?
▼优质解答
答案和解析
(1)因为OC=5米,所以顶点C(0,5),c=5,
此函数解析式为:y=ax2+5,由AB=20米,得出B点坐标为(10,0)代入解析式得:
0=100a+5,
解得:a=-
,
该抛物线的解析式为:y=-
x2+5,
(2)设E的坐标为(m,−
m2+5),其中m>0,
则EF=2m,EH=-
m2+5.
由已知得:2(EF+EH)=27.5,
即2(2m−
m2+5)=27.5,
解得:m1=5,m2=35(不合题意,舍去),
把m1=5代入EH=−
m2+5=−
×52+5=3.75.
∵在点H、G处搭建一个高3.5米的矩形“脚手架”GHMN,已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全,
∴MH=3.5m,EM=EH-MH=3.75-3.5=0.25m<0.35m,
∴该“脚手架”的安装不符合要求,
脚手架至少应调低0.35-0.25=0.1米.
此函数解析式为:y=ax2+5,由AB=20米,得出B点坐标为(10,0)代入解析式得:
0=100a+5,
解得:a=-
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该抛物线的解析式为:y=-
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(2)设E的坐标为(m,−
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则EF=2m,EH=-
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由已知得:2(EF+EH)=27.5,
即2(2m−
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解得:m1=5,m2=35(不合题意,舍去),
把m1=5代入EH=−
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∵在点H、G处搭建一个高3.5米的矩形“脚手架”GHMN,已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全,
∴MH=3.5m,EM=EH-MH=3.75-3.5=0.25m<0.35m,
∴该“脚手架”的安装不符合要求,
脚手架至少应调低0.35-0.25=0.1米.
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