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如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点,且满足AE+CF=2.(1)求证:△BDE≌△BCF;(2)判断△BEF的形状,并说明理由;(3)试探究△DEF的周长是否存在最小值.如果
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如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点,且满足AE+CF=2.
(1)求证:△BDE≌△BCF;
(2)判断△BEF的形状,并说明理由;
(3)试探究△DEF的周长是否存在最小值.如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出△DEF周长的最小值.
(1)求证:△BDE≌△BCF;
(2)判断△BEF的形状,并说明理由;
(3)试探究△DEF的周长是否存在最小值.如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出△DEF周长的最小值.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵菱形ABCD的边长为2,对角线BD=2,
∴AB=AD=BD=2,BC=CD=BD=2,
∴△ABD与△BCD都是等边三角形,
∴∠BDE=∠C=60°,
∵AE+CF=2,
∴CF=2-AE,
又∵DE=AD-AE=2-AE,
∴DE=CF,
在△BDE和△BCF中,
,
∴△BDE≌△BCF(SAS);
(2)△BEF是等边三角形.理由如下:
由(1)可知△BDE≌△BCF,
∴BE=BF,∠DBE=∠CBF,
∴∠EBF=∠DBE+∠DBF=∠CBF+∠DBF=∠DBC=60°,
∴△BEF是等边三角形,
由图可知,△BDE绕点B顺时针旋转60°即可得到△BCF;
(3)如图所示:
当BE⊥AD时,△DEF的周长最小,
∵△BDE≌△BCF,
∴DE=FC,
∴DE+DF=AD=2,
故当△DEF的周长最小,则EF最小即可,
∵△BEF是等边三角形,△ABD与△BCD都是等边三角形,
∴BE=ABsin60°=
,
∴△DEF周长的最小值为:2+
.
∴AB=AD=BD=2,BC=CD=BD=2,
∴△ABD与△BCD都是等边三角形,
∴∠BDE=∠C=60°,
∵AE+CF=2,
∴CF=2-AE,
又∵DE=AD-AE=2-AE,
∴DE=CF,
在△BDE和△BCF中,
|
∴△BDE≌△BCF(SAS);
(2)△BEF是等边三角形.理由如下:
由(1)可知△BDE≌△BCF,
∴BE=BF,∠DBE=∠CBF,
∴∠EBF=∠DBE+∠DBF=∠CBF+∠DBF=∠DBC=60°,
∴△BEF是等边三角形,
由图可知,△BDE绕点B顺时针旋转60°即可得到△BCF;
(3)如图所示:
当BE⊥AD时,△DEF的周长最小,
∵△BDE≌△BCF,
∴DE=FC,
∴DE+DF=AD=2,
故当△DEF的周长最小,则EF最小即可,
∵△BEF是等边三角形,△ABD与△BCD都是等边三角形,
∴BE=ABsin60°=
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∴△DEF周长的最小值为:2+
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