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在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点E,F在BC边上(不与B,C重合),∠EAF=45°,问以BE、EF、FC三条线段为边,是否总能构成直角三角形?请说明结论及理由.
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在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点E,F在BC边上(不与B,C重合),∠EAF=45°,问以BE、EF、FC三条线段为边,是否总能构成直角三角形?请说明结论及理由.
▼优质解答
答案和解析
将△AEB逆时针转动直至AB与AC重合,即形成的新△AE'C≌△AEB,AE'=AE,CE'=BE.
∠E'AC=∠EAB,∠ABE=∠ACE'=∠ACB=45°.
连接E'F.则∠E'AF=∠E'AC+∠FAC=∠EAB+∠FAC=90°-45°=45°
又∠EAF=45°,所以∠EAF=∠E'AF,
又AE'=AE,AF为公用边,
所以△E'AF≌△EAF,E'F=EF,
又∠ABE=∠ACE'=∠ACB=45°,∠ACE'+∠ACB=45°+45°=90°,
所以△CE'F为RT△,E'F2=CE'2+FC2,
又CE'=BE,E'F=EF,EF2=BE2+FC2
所以以BE,EF,FC为边的三角形是直角三角形.
∠E'AC=∠EAB,∠ABE=∠ACE'=∠ACB=45°.
连接E'F.则∠E'AF=∠E'AC+∠FAC=∠EAB+∠FAC=90°-45°=45°
又∠EAF=45°,所以∠EAF=∠E'AF,
又AE'=AE,AF为公用边,
所以△E'AF≌△EAF,E'F=EF,
又∠ABE=∠ACE'=∠ACB=45°,∠ACE'+∠ACB=45°+45°=90°,
所以△CE'F为RT△,E'F2=CE'2+FC2,
又CE'=BE,E'F=EF,EF2=BE2+FC2
所以以BE,EF,FC为边的三角形是直角三角形.
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