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已知函数f(x)=ax2+1x,其中a∈R.(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)上为增函数,求a的取值范围.
题目详情
已知函数f(x)=ax2+
,其中a∈R.
(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)上为增函数,求a的取值范围.
1 |
x |
(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)上为增函数,求a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)当a=0时f(x)为奇函数;当a≠0时f(x)为非奇非偶函数.证明如下:
∵f(x)=ax2+
,
∴f(-x)=ax2-
,
当a=0时,f(-x)=-f(x)=−
,f(x)为奇函数;
当a≠0时,f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),
此时f(x)为非奇非偶函数.
(2)f′(x)=2ax-
,
∵f(x)在区间[1,+∞)上为增函数,
∴f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,即2a≥
在[1,+∞)上恒成立,
而
在在[1,+∞)上单调递减,∴
≤1,
∴2a≥1,解得a≥
.
∵f(x)=ax2+
1 |
x |
∴f(-x)=ax2-
1 |
x |
当a=0时,f(-x)=-f(x)=−
1 |
x |
当a≠0时,f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),
此时f(x)为非奇非偶函数.
(2)f′(x)=2ax-
1 |
x2 |
∵f(x)在区间[1,+∞)上为增函数,
∴f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,即2a≥
1 |
x3 |
而
1 |
x3 |
1 |
x3 |
∴2a≥1,解得a≥
1 |
2 |
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