某中医研制了一种治疗咳嗽的汤剂，规格是0.25kg/瓶，服用剂量是每次一瓶，治疗时需把汤剂放在热水中加热到t0C才能给病人服用，若把m1kg汤药放入m2kg热水中，待二者温度相同时取出，则汤

Question

某中医研制了一种治疗咳嗽的汤剂，规格是0.25kg/瓶，服用剂量是每次一瓶，治疗时需把汤剂放在热水中加热到t⁰C才能给病人服用，若把m₁kg汤药放入m₂kg热水中，待二者温度相同时取出，则汤剂提高的温度t₁℃与热水降低的温度t₂℃满足关系式m₁t₁=0.8m₂t₂，某次治疗时，王护士把x瓶温度为10⁰C汤剂放入温度为90°C、质量为2.5kg的热水中加热，待二者温度相同时取出，恰好适合病人服用．
（1）求x关于t的函数解析式；
（2）若t∈[30，40]，问：王护士加热的汤剂最多够多少个病人服用？

Answer 1

（1）依题意，可得0.25x（t-10）=0.8×2.5（90-t），
整理得x关于t的函数解析式为[x=(720-8t)/(t-10)．…（4分）
（2）解法一：设30≤t₁<t₂≤40，则x(t1)-x(t2)=(720-8t1)/(t1-10)-(720-8t2)/(t2-10)=(640(t2-t1))/((t1-10)(t2-10))
因为30≤t₁<t₂≤40，所以（t₁-10）（t₂-10）>0，t₂-t₁>0，所以(640(t2-t1))/((t1-10)(t2-10))>0，
即x（t₁）-x（t₂）>0，
所以x（t₁）>x（t₂），所以x（t）在[30，40]上为减函数．…（10分）
所以x(t)max=x(30)=(720-8×30)/(30-10)=24，所以王护士加热的汤剂最多够24个病人服用．…（12分）
解法二：由x=(720-8t)/(t-10)，可得t=(720+10x)/(x+8)．…（6分）
由t∈[30，40]，可得30≤(720+10x)/(x+8)≤40，因为x+8>0，所以3（x+8）≤72+x≤4（x+8），解得(40)/(3)≤x≤24．
所以王护士加热的汤剂最多够24个病人服用．…12分