某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若学员小李独立参加每次考核合格的概率

Question

某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若学员小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为(1)/(8)的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过(1)/(2)，且他直到参加第二次考核才合格的概率为(9)/(32)．
（1）求小李第一次参加考核就合格的概率p．；
（2）求小李参加考核的次数ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

（1）由题意，得(1−p1)(p1+(1)/(8))＝(9)/(32)，p1＝(1)/(4)或(5)/(8)．
因为p1＞(1)/(2)，所以p1＝(5)/(8)，即小李第一次参加考核就合格的概率p1＝(5)/(8)．                
（2）由（1）的结论知，小李四次考核每次合格的概率依次为(5)/(8)，(3)/(4)，(7)/(8)，1，
所以，P(ξ＝1)＝(5)/(8)，P(ξ＝2)＝(9)/(32)，P(ξ＝3)＝(1−(5)/(8))(1−(3)/(4))×(7)/(8)＝(21)/(256)P(ξ＝4)＝(1−(5)/(8))(1−(3)/(4))(1−(7)/(8))×1＝(3)/(256)
所求分布列为：

ξ	1	2	3	4
P	(5)/(8)	(9)/(32)	(21)/(256)	(3)/(256)

由上可知，Eξ＝1×(5)/(8)+2×(9)/(32)+3×(21)/(256)+4×(3)/(256)＝(379)/(256)