规定Cmx＝x(x−1)…(x−m+1)m!，其中x∈R，m是正整数，且C0x＝1，这是组合数Cmn（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．（1）求C3−15的值；（2）设x＞0，当x为何值时，C3x(C1x)2取得最小值？（3）组

Question

规定

C

m x

＝(x(x−1)…(x−m+1))/(m!)，其中x∈R，m是正整数，且

C

0 x

＝1，这是组合数

C

m n

（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求

C

3 −15

的值；
（2）设x＞0，当x为何值时，(C3x)/((C1x)2)取得最小值？
（3）组合数的两个性质；①

C

m n

＝

C

n−m n

；②

C

m n

+

C

m−1 n

＝

C

m n+1

．是否都能推广到

C

m x

（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．

Answer 1

（1）由题意可得

C

3 −15

＝((−15)(−16)(−17))/(3!)＝−680．（4分）
（2）(C3x)/((C1x)2)＝(x(x−1)(x−2))/(6x2)＝(1)/(6)(x+(2)/(x)−3)．（6分）
∵x＞0，故有 x+(2)/(x)≥2√(2)．
当且仅当x＝√(2)时，等号成立．∴当x＝√(2)时，(C3x)/((C1x)2)取得最小值．（8分）
（3）性质①不能推广，例如当x＝√(2)时，

C

1 √(2)

有定义，但

C	√(2)−1 √(2)

无意义； （10分）
性质②能推广，它的推广形式是

C

m x

+

C

m−1 x

＝

C

m x+1

，x∈R，m是正整数．（12分）
事实上，当m=1时，有

C

1 x

+

C

0 x

＝x+1＝

C

1 x+1

．
当m≥2时.

C

m x

+

C

m−1 x

＝(x(x−1)…(x−m+1))/(m!)+(x(x−1)…(x−m−2))/((m−1)!)
=(x(x−1)…(x−m+2))/((m−1)!)[(x−m+1)/(m)+1]=(x(x−1)…(x−m+2)(x+1))/(m !)=

C

m x+1

．（14分）