（2013•太原）数学活动---求重叠部分的面积．问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=

Question

（2013•太原）数学活动---求重叠部分的面积．
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：
如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G．求重叠部分（△DCG）的面积．

（1）独立思考：请回答老师提出的问题．
（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，你能求出重叠部分（△DGH）的面积吗？请写出解答过程．
（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF绕点D旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题．
“爱心”小组提出的问题是：如图3，将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM=MN，求重叠部分（△DMN）的面积．
任务：①请解决“爱心”小组提出的问题，直接写出△DMN的面积是(75)/(16)(75)/(16)．
②请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图4中画出图形，标明字母，不必解答（注：也可在图1的基础上按顺时针旋转）．

Answer 1

（1）【独立思考】
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴DC=DA=DB，∴∠B=∠DCB．
又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B．
∴∠FDE=∠DCB，∴DG∥BC．
∴∠AGD=∠ACB=90°，∴DG⊥AC．
又∵DC=DA，∴G是AC的中点，
∴CG=(1)/(2)AC=(1)/(2)×8=4，DG=(1)/(2)BC=(1)/(2)×6=3，
∴S_△DGC=(1)/(2)CG•DG=(1)/(2)×4×3=6．

（2）【合作交流】
解法一：如下图所示：

∵△ABC≌△FDE，∴∠B=∠1．
∵∠C=90°，ED⊥AB，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°，
∴∠B=∠2，∴∠1=∠2，
∴GH=GD．
∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠A=∠3，∴AG=GD，
∴AG=GH，即点G为AH的中点．
在Rt△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10，
∵D是AB中点，∴AD=(1)/(2)AB=5．
在△ADH与△ACB中，∵∠A=∠A，∠ADH=∠ACB=90°，
∴△ADH∽△ACB，∴(AD)/(AC)＝(DH)/(CB)，即(5)/(8)＝(DH)/(6)，解得DH=(15)/(4)，
∴S_△DGH=(1)/(2)S_△ADH=(1)/(2)×(1)/(2)×DH•AD=(1)/(4)×(15)/(4)×5=(75)/(16)．
解法二：同解法一，G是AH的中点．
连接BH，∵DE⊥AB，D是AB中点，

∴AH=BH．设AH=x，则CH=8-x．
在Rt△BCH中，CH²+BC²=BH²
即：（8-x）²+36=x²，解得x=(25)/(4)．
∴S_△ABH=(1)/(2)AH•BC=(1)/(2)×(25)/(4)×6=(75)/(4)．
∴S_△DGH=(1)/(2)S_△ADH=(1)/(2)×(1)/(2)S_△ABH=(1)/(4)×(75)/(4)=(75)/(16)．
解法三：同解法一，∠1=∠2．
连接CD，由（1）知，∠B=∠DCB=∠1，
∴∠1=∠2=∠B=∠DCB．
∴△DGH∽△BDC．
过点D作DM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N．

∵D是AB的中点，∠ACB=90°，
∴CD=AD=BD，∴点M是AC的中点，
∴DM=(1)/(2)BC=(1)/(2)×6=3．
在Rt△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10，(1)/(2)AC•BC=(1)/(2)AB•CN，
∴CN=

作业帮用户 2017-11-08 举报

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议