四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与边BC交于点E，∠ADC的角平分线交直线AE于点O．（1）若点O在四边形ABCD的内部，①如图1，若AD∥BC，∠B=40°，∠C=70°，则∠DOE=°；②如图2，试探索∠B

Question

四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与边BC交于点E，∠ADC的角平分线交直线AE于点O．
（1）若点O在四边形ABCD的内部，
①如图1，若AD∥BC，∠B=40°，∠C=70°，则∠DOE=___°；
②如图2，试探索∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系，并将你的探索过程写下来．
（2）如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请你直接写出∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系．

Answer 1

（1）①∵AD∥BC，∠B=40°，∠C=70°，
∴∠BAD=140°，∠ADC=110°，
∵AE、DO分别平分∠BAD、∠CDA，
∴∠BAE=70°，∠ODC=55°，
∴∠AEC=110°，
∴∠DOE=360°-110°-70°-55°=125°；
故答案为：125；

②∠B+∠C+2∠DOE=360°，
理由：∵∠DOE=∠OAD+∠ADO，
∵AE、DO分别平分∠BAD、∠CDA，
∴2∠DOE=∠BAD+∠ADC，
∵∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=360°，
∴∠B+∠C+2∠DOE=360°；

（2）∠B+∠C=2∠DOE，
理由：∵∠BAD+∠ADC=360°-∠B-∠C，∠EAD+∠ADO=180°-∠DOE，
∵AE、DO分别平分∠BAD、∠CDA，
∴∠BAD=2∠EAD，∠ADC=2∠ADO，
∴∠BAD+∠ADC=2（∠EAD+∠ADO），
∴360°-∠B-∠C=2（180°-∠DOE），
∴∠B+∠C=2∠DOE．