二次函数已知抛物线y=ax^2+bx-3与x轴交于A,B两点,与Y轴交于C点,经过A,B,C三点的圆的圆心M(1,m)恰好在此抛物线的对称轴上,圆的半径为根号5,设圆与y轴交于D,抛物线的顶点E.(1)求m的值及抛物线的解

Question

二次函数
已知抛物线y=ax^2+bx-3与x轴交于A,B两点,与Y轴交于C点,经过A,B,C三点的圆的圆心M(1,m)恰好在此抛物线的对称轴上,圆的半径为根号5,设圆与y轴交于D,抛物线的顶点E.
(1)求m的值及抛物线的解析式.
(2)设角DBC=阿尔法,角CBE=北他,求sin(阿尔法-北他)的值.
(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P,A,C为顶点的三角形与三角形BCE相似?若存在,请指出点P的位置并直接写出P的坐标,若不存在,请说明理由.

Answer 1

(1)由"圆心M(1,m)恰好在此抛物线的对称轴上"知道,抛物线y=ax^2+bx-3的对称轴是x=1.那么,它的解析式就是
y=(x-1)^2-4=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)
那么,与x轴交于A,B两点的坐标分别是:
A:(-1,0)
B:(3,0)
与Y轴交于C点:(0,-3)
圆心M(1,m)与点A,B,C指间距离相等
MC^2=(1-0)^2+(m+3)^2=5
m=-1
圆M与Y轴交于D(0,1)
抛物线的顶点为E(1,-4)
(2)直线DB与直线BC的锐夹角为角DBC
直线BC与直线BE的锐夹角为角CBE
直线DB的斜率:-1/3,DB=√10
直线BC的斜率:1,
直线BE的斜率:2,BE=4√5
α=∠DBO+∠OBC=∠DBO+45°
β=∠OBE-∠OBC=∠OBE-45°
α-β=(∠DBO+45°)-(∠OBE-45°)=∠DBO-∠OBE+90°
从图上可以算出:sin∠DBO=√10/10 cos∠DBO=3√10/10
sin∠OBE=√5/5 cos∠OBE=√5/10
sin(α-β)=sin[(∠DBO-∠OBE)+90°]
=sin(∠DBO-∠OBE)cos90°+cos(∠DBO-∠OBE)sin90°
=cos(∠DBO-∠OBE)
=coc∠DBO*cos∠OBE+sin∠DBO*sin∠OBE
=3√10/10*(√5/10)+(√10/10)*(√5/5)
=3√50/100+(√50/50)
=5√50/100
=√50/20
(3)要想三角形相似,那么他们的三个角必须分别相等
三角形BCE为直角三角形,∠BCE=90°
若点P在坐标轴上,那它必定为坐标原点O,但
sin∠ACO=√10/10≠sin(α-β),故坐标轴上不存在P点;