某高校在招收体育特长生时，须对报名学生进行三个项目的测试，规定三项都合格者才能录取．假设每项测试相互独立，学生甲和乙三个项目测试合格的概率均相等•且各项测试合格的概率

Question

某高校在招收体育特长生时，须对报名学生进行三个项目的测试，规定三项都合格者才能录取．假设每项测试相互独立，学生甲和乙三个项目测试合格的概率均相等•且各项测试合格的概率分别为(1)/(2)，(1)/(2)，(1)/(3)．
（1）求学生甲和乙至少有一人被录取的概率；
（2）求学生甲测试合格的项数X的分布列和数学期望．

Answer 1

（1）记学生甲被录取的事件为A，学生甲通过这三个项目的事件分别为B，C，D，
由题设知P（B）=(1)/(2)，P（C）=(1)/(2)，P（D）=(1)/(3)，
由于事件B，C，D相互独立，
∴甲被录取的概率为：
P（A）=P（BCD）=P（B）P（C）P（D）=(1)/(2)×(1)/(2)×(1)/(3)=(1)/(12)，
∵学生甲和乙三个项目测试合格的概率均相等，
∴乙被录取的概率为P₁=(1)/(12)，
∴学生甲和乙到少有一人被录取的概率P=1-C

2

2

（(11)/(12)）²=(23)/(144)．
（2）由题设知，学生甲测试合格的项数X的取值为0，1，2，3，
则P（X=0）=P（

.

B

.

C

.

D

）=(1)/(2)×(1)/(2)×(2)/(3)=(1)/(6)，
P（X=1）=P（B

.

C

.

D

）+P（

.

B

C

.

D

）+P（

.

B

.

C

D）
=(1)/(2)×(1)/(2)×(2)/(3)+(1)/(2)×(1)/(2)×(2)/(3)+(1)/(2)×(1)/(2)×(1)/(3)=(5)/(12)，
P（X=2）=P（BC

.

D

）+P（B

.

C

D）+P（

.

B

CD）
=(1)/(2)×(1)/(2)×(2)/(3)+(1)/(2)×(1)/(2)×(1)/(3)+(1)/(2)×(1)/(2)×(1)/(3)=(1)/(3)，
P（X=3）=P（BCD）=(1)/(2)×(1)/(2)×(1)/(3)=(1)/(12)，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	(1)/(6)	(5)/(12)	(1)/(3)	(1)/(12)

EX=0×(1)/(6)+1×(5)/(12)+2×(1)/(3)+3×(1)/(12)=(4)/(3)．