线性空间V上的线性变换f,g满足fgf=f,gfg=g,证明:V=K(f)直和R(g)

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线性空间V上的线性变换f,g满足 fgf=f,gfg=g,证明:V=K(f)直和R(g)

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答案和解析

先证明V=Ker(f)+Ran(g)
这个很容易,对任何x∈V,令y=x-gfx,z=gfx,那么y∈Ker(f),z∈Ran(g)
然后证明直和
假定x=y1+gu1=y2+gu2,其中y1,y2∈Ker(f)
作用gf得到gfgu1=gfgu2,即gu1=gu2,从而y1=y2
这说明分解是唯一的

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