设R为交换环（不一定有乘法单位元）,若R有零因子但只有有限个零因子,证明:R是一个有限环

Question

设R为交换环（不一定有乘法单位元）,若R有零因子但只有有限个零因子,证明:R是一个有限环

Answer 1

用反证法, 假设R是无限环, 但存在并只有有限个零因子.
设a是R中一个零因子, 则有a ≠ 0, 并存在b ≠ 0使ab = 0.
考虑映射φ: R → R, φ(x) = xa, 可知φ是R作为加法群到自身的同态.
易见, ker(φ)中的非零元都是零因子, 因此ker(φ)是有限群.
而R是无限群, 由同态基本定理, im(φ)同构于R/ker(φ)是无限集.
即当x取遍R中的元素, xa有无限种不同的取值.
但(xa)b = x(ab) = 0, 可知xa的非零取值都是R中的零因子.
于是R中有无限个零因子, 矛盾.
因此题目所述的环只能为有限环.