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在三棱锥S-ABC中,侧棱SA,SB,SC两两垂直,且SA=a,SB=b,SC=c,现有下列命题:①△ABC一定为锐角三角形;②该三棱锥的每组对棱分别互相垂直;③该三棱锥的外接球的半径为a2+b2+c2;④顶点S

题目详情
在三棱锥S-ABC中,侧棱SA,SB,SC两两垂直,且SA=a,SB=b,SC=c,现有下列命题:
①△ABC一定为锐角三角形;
②该三棱锥的每组对棱分别互相垂直;
③该三棱锥的外接球的半径为
a2+b2+c2

④顶点S在平面ABC内的射影一定为△ABC的重心.
其中真命题有______(填上你认为的真命题的序号)
▼优质解答
答案和解析
①∵SA⊥SB,SA⊥SC,
∴SA⊥平面SBC,BC⊂平面SBC.∴SA⊥BC.
而AD是SA在平面ABC上的射影,∴AD⊥BC.
同理可证AB⊥CF,AC⊥BE,故O为△ABC的垂心,故①②正确,④错误.
③以SA,SB,SC为棱构造长方体,则长方体的体对角线为三棱锥的外接球的直径,
则2r=
a2+b2+c2
,即外接圆的半径r=
1
2
a2+b2+c2
,故③错误.
故正确的命题为①②,
故答案为:①②