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提出问题(1)如图1,在等边△ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等边△AMN,连结CN.求证:∠ABC=∠ACN.类比探究(2)如图2,在等边△ABC中,点M是BC
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【提出问题】
(1)如图1,在等边△ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等边△AMN,连结CN.求证:∠ABC=∠ACN.
【类比探究】
(2)如图2,在等边△ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?请说明理由.
【拓展延伸】
(3)如图3,在等腰△ABC中,BA=BC,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN=∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由.
(1)如图1,在等边△ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等边△AMN,连结CN.求证:∠ABC=∠ACN.
【类比探究】
(2)如图2,在等边△ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?请说明理由.
【拓展延伸】
(3)如图3,在等腰△ABC中,BA=BC,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN=∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵△ABC、△AMN是等边三角形,
∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,
∵在△BAM和△CAN中,
∴△BAM≌△CAN(SAS),
∴∠ABC=∠ACN.
(2) 结论∠ABC=∠ACN仍成立;
理由如下:∵△ABC、△AMN是等边三角形,
∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,
∵在△BAM和△CAN中,
∴△BAM≌△CAN(SAS),
∴∠ABC=∠ACN.
(3) ∠ABC=∠ACN;
理由如下:∵BA=BC,MA=MN,顶角∠ABC=∠AMN,
∴底角∠BAC=∠MAN,
∴△ABC∽△AMN,
∴
=
,
又∵∠BAM=∠BAC-∠MAC,∠CAN=∠MAN-∠MAC,
∴∠BAM=∠CAN,
∴△BAM∽△CAN,
∴∠ABC=∠ACN.
∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,
∵在△BAM和△CAN中,
|
∴△BAM≌△CAN(SAS),
∴∠ABC=∠ACN.
(2) 结论∠ABC=∠ACN仍成立;
理由如下:∵△ABC、△AMN是等边三角形,
∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,
∵在△BAM和△CAN中,
|
∴△BAM≌△CAN(SAS),
∴∠ABC=∠ACN.
(3) ∠ABC=∠ACN;
理由如下:∵BA=BC,MA=MN,顶角∠ABC=∠AMN,
∴底角∠BAC=∠MAN,
∴△ABC∽△AMN,
∴
AB |
AC |
AM |
AN |
又∵∠BAM=∠BAC-∠MAC,∠CAN=∠MAN-∠MAC,
∴∠BAM=∠CAN,
∴△BAM∽△CAN,
∴∠ABC=∠ACN.
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