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在直角三角形ABC中,角C等于90度,AC=BC,点D是AB边上的中点,过c引一条直线l(不与acbc重合并且不经过点D)A作AE⊥L于E,于F,连接DE,DF,是猜想⊿DEF的形壮并证明.
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在直角三角形ABC中,角C等于90度,AC=BC,点D是AB边上的中点,过c引一条直线l(不与acbc重合并且不经过点D)
A作AE⊥L于E,于F,连接DE,DF,是猜想⊿DEF的形壮并证明.
A作AE⊥L于E,于F,连接DE,DF,是猜想⊿DEF的形壮并证明.
▼优质解答
答案和解析
△DEF是等腰三角形.
证明:如图,连接CD,
∵AE⊥CE,BF⊥CE,
∴∠BFC=∠CEA=90°,
∴∠FBC+∠FCB=∠EAC+∠ACE=90°,
∵∠ACE+∠FCB=∠ACB=90°
∴∠ACE=∠CBF,
∵AC=BC,
∴△ACE≌△CBF(AAS)
∴AE=CF,∠EAC=∠FCB
∵D是AB中点,∠ACB=90°,AC=BC,
∴AD=CD, ∠DCA=∠DCB=45° ∠CAB=45°
∴∠EAC-∠DCA =∠FCB-∠DCB
即∠EAD =∠DCF
∴△AED≌△CFD(SAS)
∴ED=FD,∠DDA =∠FDC
由D是AB中点可知,∠ADC=90°,
∴ ∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠FDC+∠ADF=∠ADC=90°
所以△DEF是等腰直角三角形
图形共三种情况:直线L交线段AD;直线L交线段BD;直线L不与△ABC任意一边相交;我所证明的是第一种情况,其它情况结论都成立.
证明:如图,连接CD,
∵AE⊥CE,BF⊥CE,
∴∠BFC=∠CEA=90°,
∴∠FBC+∠FCB=∠EAC+∠ACE=90°,
∵∠ACE+∠FCB=∠ACB=90°
∴∠ACE=∠CBF,
∵AC=BC,
∴△ACE≌△CBF(AAS)
∴AE=CF,∠EAC=∠FCB
∵D是AB中点,∠ACB=90°,AC=BC,
∴AD=CD, ∠DCA=∠DCB=45° ∠CAB=45°
∴∠EAC-∠DCA =∠FCB-∠DCB
即∠EAD =∠DCF
∴△AED≌△CFD(SAS)
∴ED=FD,∠DDA =∠FDC
由D是AB中点可知,∠ADC=90°,
∴ ∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠FDC+∠ADF=∠ADC=90°
所以△DEF是等腰直角三角形
图形共三种情况:直线L交线段AD;直线L交线段BD;直线L不与△ABC任意一边相交;我所证明的是第一种情况,其它情况结论都成立.
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