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函数f(x)在定义域R上不是常数函数,且f(x)满足对任意x∈R,有f(4+x)=f(4-x),f(x+1)=f(x-1),则f(x)是()A.奇函数但非偶函数B.偶函数但非奇函数C.奇函数又是偶函数D.
题目详情
函数f(x)在定义域R上不是常数函数,且f(x)满足对任意x∈R,有f(4+x)=f(4-x),f(x+1)=f(x-1),则f(x)是( )
A.奇函数但非偶函数
B.偶函数但非奇函数
C.奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
A.奇函数但非偶函数
B.偶函数但非奇函数
C.奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
▼优质解答
答案和解析
∵f(4+x)=f(4-x),
∴函数f(x)的对称轴为x=4,
又f(x+1)=f(x-1),
∴f(x+2)=f(x),
∴函数f(x)的周期为T=2,
∴x=0也为函数f(x)的对称轴,
∴f(x)为偶函数,
又∵f(x)在R上不是常数函数,故f(x)不恒为0,
∴f(x)为偶函数但不是奇函数.
故选B.
∴函数f(x)的对称轴为x=4,
又f(x+1)=f(x-1),
∴f(x+2)=f(x),
∴函数f(x)的周期为T=2,
∴x=0也为函数f(x)的对称轴,
∴f(x)为偶函数,
又∵f(x)在R上不是常数函数,故f(x)不恒为0,
∴f(x)为偶函数但不是奇函数.
故选B.
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